2019届高考数学一轮复* 学科素养培优四 三角函数中的最值求解方法讲义 理 新人教版

发布于:2021-09-21 19:57:53

学科素养培优四 三角函数中的最值求解方法

三角函数与解三角形中一大类问题就是最值,我们把该类问题称为三角最值,其 主要类型有如下几类.

类型一 可化为二次函数的三角函数最值

【例1】 函数y=cos 2x+2cos x的最小值是

.

思路点拨:利用余弦倍角公式转化为二次函数在闭区间上的最值.

解析:y=cos

2x+2cos

x=2cos2x+2cos

x-1=2

? ??

cos

x

?

1

2
?

2 ??

-

3 2

≥-

3 2

,当且仅当

cos

x=-

1 2



取得最小值.

答案:- 3 2

反思归纳 利用三角函数的有界性把某些三角函数最值化为闭区间上的二次函 数的最值,利用求闭区间上二次函数最值的方法求解函数最值.

类型二 y= a ? bsin x 型的最值 c ? d cos x

【例 2】 函数 y= 3 ? sin x 的最大值和最小值分别为

.

4 ? cos x

思路点拨:思路(1):变换函数解析式后使用辅助角公式,利用三角函数的有界 性得出关于y的不等式,解不等式得出y的取值范围后得出其最值;思路(2):考 虑函数解析式的几何意义,把问题转化为求直线的斜率的最值.

解析:法一 y= 3 ? sin x ,即 sin x-ycos x=3-4y,即 1 ? y2 sin(x+? )=3-4y,即 4 ? cos x

sin(x+ ? )= 3 ? 4y ,由正弦函数的有界性,得 3 ? 4 y ≤1,该不等式两端*方,得

1? y2

1? y2

12 ? 2 6 ≤y≤ 12 ? 2 6 ,故其最大值为 12 ? 2 6 、最小值为 12 ? 2 6 .

15

15

15

15

法二 y= 3 ? sin x 的几何意义是圆 x2+y2=1 上的点与点(4,3)连线的斜率,设该斜率为 k,则 4 ? cos x

需使直线 y-3=k(x-4)与圆 x2+y2=1 存在公共点,所以 3 ? 4k ≤1,下面解法同法一. 1? k2

答案: 12 ? 2 6 , 12 ? 2 6

15

15

反思归纳 y= a ? b sin x 类三角函数最值的基本解决方法是法一中的解法,其
c ? d cos x
根据是正弦函数的有界性.

类型三 函数图象*移距离的最小值 【例3】 (2017·辽宁大连双基测试)函数f(x)=sin x+cos x的图象向右*移t(t>0) 个单位长度后所得函数为偶函数,则t的最小值为( )

(A) π 4

(B) π 3

(C) 3π (D) 5π

4

6

解析:因 f(x)= 2 sin(x+ π ),向右*移 t(t>0)个单位长度后所得函数为 g(x)= 4

2 sin(x-t+ π ),由题设可知 g(0)= 2 sin(0-t+ π )=± 2 ,即 sin( π -t)=±1,

4

4

4

也即 π -t=kπ+ π ,k∈Z,故 t=-kπ- π ,k∈Z,由于 t>0,所以 tmin= 3π .故选 C.

4

2

4

4

反思归纳 函数图象*移后函数解析式发生了变化,解题中首先确定函数图象 *移后的解析式,再根据新函数具备的性质求出*移距离的通解,再从通解中确 定其最小值.

类型四 y=Asin(ωx+ ? )中ω的最值 【例 4】 (2017·邯郸二模)函数 f(x)=1+cos ω x+a+ 3 sin ω x 在 R 上的最大值为 2. (1)求实数 a 的值;
解:(1)f(x)=1+cos ωx+a+ 3 sin ωx=2sin(ωx+ π )+a+1,因为函数 f(x)在 R 上 6
的最大值为 2, 所以 3+a=2,故 a=-1.

(2)把函数 y=f(x)的图象向右*移 π 个单位,可得函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在[0, π ]

6?

4

上为增函数,求ω 的最大值.

解:(2)由(1)知 f(x)=2sin(ωx+ π ),把函数 f(x)=2sin(ωx+ π )的图象向右*移

6

6

π 个单位,可得函数 y=g(x)=2sin ωx,又 y=g(x)在[0, π ]上为增函数,所以

6?

4

g(x)的最小正周期 T= 2π ≥ π ×4,即ω≤2,所以ω的最大值为 2. ?4

反思归纳 围.

根据已知的函数性质,确定ω满足的条件,求得其最值或者取值范

类型五 三角形面积与周长的最值

【例 5】 (1)(2017·重庆一调)在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cos θ ),B(sin θ ,1),

θ ∈(0, π ],则当△OAB 的面积取最大值时,θ 等于( ) 2

(A) π (B) π

6

3

(C) π (D) π

4

2

解析:(1)S=1×1- 1 cos θ- 1 sin θ- 1 (1-cos θ)(1-sin θ)= 1 - 1 cos θsin θ

2

2

2

22

= 1 - 1 sin 2θ,因为θ∈(0, π ],所以当 2θ=π即θ= π 时,S 有最大值.故选 D.

24

2

2

答案:(1)D

(2)(2017·广东广州一模)在△ABC 中,∠ACB=60°,BC>1,AC=AB+ 1 ,当△ABC 的周长 2

最短时, BC 的长是

.

解析: (2)由题可令角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 由 c2=a2+b2-2abcos C,将已知条件 C=60°,b=c+ 1 ,
2 代入可得 c= 4a2 ? 2a ?1 ,
4?a ?1?

周长 l=a+b+c= 4a2 ? 2a ?1 + 1 +a,
2?a ?1? 2

化简可得 l=3(a-1)+ 3 +1+ 1 +3≥3
2?a ?1? 2

2 +4 1 , 2

6(a-1)2=3 时取等号,又 BC>1,

则 BC= 2 +1 时,周长最短. 2

答案:(2) 2 +1 2

反思归纳 该类求解面积(周长)问题是建立面积(周长)的函数关系式或者使用 基本不等式得出三角形两边之积的最大值,再根据三角形面积公式(或周长公式) 求得最值.

类型六 三角形中的三角函数最值 【例6】 (2017·洛阳质检)已知锐角△ABC中内角A,B,C所对边的边长分别为 a,b,c,满足a2+b2=6abcos C,且sin2C=2 sin Asin B.
3 (1)求角C的值;

解:(1)由余弦定理知 a2+b2=c2+2abcos C,又因为 a2+b2=6abcos C,

所以 cos C= c2 ,又 sin2C=2 3 sin Asin B, 4ab

由正弦定理得 c2=2 3 ab,所以 cos C= c2 = 2 3ab = 3 ,所以 C= π .

4ab 4ab 2

6

(2)设函数 f(x)=sin(ω x+ π )+cos ω x(ω >0),且 f(x)图象上相邻两最高点间的距离为 6
π ,求 f(A)的取值范围.

解:(2)f(x)=sin(ωx+ π )+cos ωx= 3 cos ωx+ 3 sin ωx= 3 sin(ωx+ π ),

6

2

2

3

由已知 2π =π,则ω=2,则 f(x)= 3 sin(2x+ π ),C= π ,B= 5π -A,

?

3

66

由于 0<A< π ,0<B< π ,所以 π <A< π .所以π<2A+ π < 4π ,所以- 3 < 3 sin(2A+ π )<0.

2

2

32

33

2

3

即 f(A)的取值范围为(- 3 ,0). 2


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