高中数学必修1知识点总结-高中课件精选

发布于:2021-09-21 19:38:03

高中数学必修1知识点总结
1

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素, 即元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:集合A ? ?x | y ? lg x?,B ? ?y | y ? lg x?,
C ? ?(x, y) | y ? lg x?,A、B、C 中元素各表示什么?
2

2. 进行集合的交、并、补运算时, 不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
? ? 如:集合A ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,B ? ?x | ax ?1?
若B ? A,则实数a的值构成的集合为

(答:

???1,0, ?

31???)

3

3. 注意下列性质:
? ? (1)集合 a1,a2,……,an 的所有子集的个数是2n ;
(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
(3)德摩根定律:
CU ? A B? ? ?CU A? ?CU B?,CU ? A B? ? ?CU A? ?CU B?
4

4. 你会用补集思想解决问题吗? (排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式

ax x2

? ?

5 a

?

0的解集为M,

若3? M且5? M,求实数a的取值范围

(∵3

?

M,∴

a·3 ? 5 32 ? a

?

0

∵5

?

M,∴

a·5 ? 5 52 ? a

?

0

? a ????1, 53??? ??9,25? )
5

5. 对映射的概念了解吗?
是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯 一性 哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
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6. 函数的三要素是什么? 如何比较两个函数是否相同?
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7. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数y

?

x?4? x? lg ? x ? 3?2

的定义域是

(答:?0,2? ?2,3? ?3,4?)

8

8. 如何求复合函数的定义域?
例1、函数f (x)的定义域是?a,b?,b ? ?a ? 0,
则函数F(x) ? f (x) ? f (?x)的定义域是_____
(答:?a, ? a?)
例2、设f (x ?1)的定义域为?1, 2?,求函数
g(x) ? f (x2 )的定义域
(答:?-1,1?)
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9. 求函数的解析式有哪些常见类型? 例:已知2 f (x ?1) ? f (1? x) ? 2x2 -1,求二次函数f (x) 的解析式
f (x) ? 2x2 ? 4 x ?1 3
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10. 求函数的值域有哪些常见类型?
例:求下列函数值域 (1)y ? 4 - 3? 2x ? x2 ;(2)y ? x ? 1? 2x
(1)?2, 4?; (2) ? ??,1?
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11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时, 注明函数的定义域了吗?
? ? 如:f x ? 1 ? ex ? x,求f (x).
f (x) ? ex2?1 ? x2 ?1 ? x ? 0?
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12. 反函数存在的条件是什么?

求反函数的步骤?

例:求函数f

(

x)

?

??1 ? ? ??? x

x
2

?x ? 0? ?x ? 0?

的反函数

(答:f

?1

(

x)

?

?? x ? ???

?

1 ?

?
x

x
?

? x

1?
?0

?



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13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; ③原函数的定义域为反函数的值域,原函数的 值域为反函数的定义域
例:已知f ? x? ? ax ? k的图象过点(1,3),其反函数
的图象过(2, 0)点,求f (x)表达式.
14

14. 如何用定义证明函数的单调性?
例:已知奇函数f (x)在区间?a,b?上是减函数, 证明f (x) 在区间??b, ?a?上仍是减函数.
如何判断复合函数的单调性?
? ? 例:求y ? log1 ?x2 ? 2x 的单调区间
2
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15. 二次函数在闭区间上的最值问题
例:已知函数f (x) ? x2 ? 2ax ? 2,求f (x)在??5,5?上的
最大值与最小值.
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16. 如何判断函数f(x)的奇偶性?

若f (?x) ? ? f (x) ? f (x)为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f (x) ? f (x)为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称

例1:若f

(x)

?



2x ? a ? 2x ?1

2

为奇函数,则实数a

?

__

例2:f (x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x ?(0,1)时, f (x) ? 2x ,求f (x)解析式.
4x ?1

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17. 周期函数的定义
若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ? x ? T ? ? f (x),
则f (x)为周期函数,T为一个周期.
若f ? x ? a? ? ? f (x),则T ? 2a为f (x)的一个周期
例:已知定义在R上的奇函数f (x)满足f ? x ? 2? ? ? f (x),
则f (6)的值为 ____
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18. 你掌握常用的图象变换了吗?
f(x)与f(?x)的图象关于 y轴 对称 f(x)与 ? f(x)的图象关于 x轴 对称
f(x)与 ? f(?x)的图象关于 原点 对称 f (x)与f ?1(x)的图象关于 直线y ? x 对称 f(x)与f(2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称
f (a ? x) ? f (a ? x) ? 对称轴为x ? a
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将y ? f (x)图象 ?左?移?a?(a??0)?个?单?位?? y ? f (x ? a) 右移a(a?0)个单位 y ? f (x ? a)
?上?移?b?(b??0?)个?单?位?? y ? f (x ? a) ? b 下移b(b?0)个单位 y ? f (x ? a) ? b
注意如下“翻折”变换:
f (x) ??? f (x) f (x) ??? f (|x|)
例:作出y ? |log2 ? x ?1?|及y ? log2 |x ?1|的图象.
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19.熟练掌握常用函数的图象和性质

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?

(2)反比例函数:y ? k ?k ? 0?

(3)二次函数y

?

ax2

?

x bx

?

c

?a

?

0?

?

a

? ??

x

?

b 2a

2
? ? ?

?

4ac ? 4a

b2

(4)指数函数:y ? ax ?a ? 0,a ? 1?

(5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?
(6)“对勾函数” y ? x ? k ?k ? 0?
x

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20.指数、对数基本运算

指数运算:a 0

? 1 (a

? 0),a ?p

?

1 ap

(a

? 0)

m

m

a n ? n a m (a ? 0),a ? n ?

1

(a ? 0)

n am

对数运算:loga M·N ? loga M ? loga N ?M ? 0,N ? 0?

loga

M N

?

loga

M

?

loga

N, loga

n

M

?

1 n

loga

M

对数恒等式:a loga x ? x

对数换底公式:loga

b

?

logc logc

b a

?

logam

bn

?

n m

loga

b

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21. 如何解抽象函数问题?

(赋值法、结构变换法)
如:
(1)x ? R,f (x)满足f (x ? y) ? f (x) ? f ( y),证明f (x)为奇函数。

(先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,……)
(2)x ?R,f (x)满足f (xy) ? f (x) ? f (y),证明f (x)是偶函数。
(先令x ? y ? ?t,再令x ? y ? t ? f ?(?t)(?t)? ? f (·t t)
∴f (?t) ? f (?t) ? f (t) ? f (t)即f (?t) ? f (t)

(3)证明单调性:f (x2 ) ? f ??? x2 ? x1 ? ? x2 ?? ? ……

f (x2 ) ?

f

? ? x1 ?

x2 x1

? ? ?

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22. 函数零点的概念?判断零点个数的方法?
一元二次方程f (x) ? ax2 ? bx ? c的区间根问题
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